Function Transformations and Composition函数变换与复合

Let $f$ be the parent function and let $h, k$ be real constants.设 $f$ 为母函数，$h, k$ 为实常数。

• Outside vs. inside.外加 vs. 内加。 A constant added outside the function moves the graph up (positive $k$) or down (negative $k$). A constant subtracted inside the function moves the graph right (positive $h$) or left (negative $h$).在函数外加常数：上移（$k > 0$）或下移（$k < 0$）。在函数内减常数：右移（$h > 0$）或左移（$h < 0$）。
• Sign convention warning.符号约定警示。 $y = f(x + 3)$ shifts the graph left by $3$, not right. Read $(x + 3)$ as $(x - (-3))$ so $h = -3$. Every textbook gets caught here.$y = f(x + 3)$ 把图像向左平移 $3$，不是向右。把 $(x + 3)$ 读作 $(x - (-3))$，则 $h = -3$。教材在此处反复栽跟头。
• Together.同时使用。 $$ y = f(x - h) + k \;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\; \text{shift right by } h \text{ and up by } k. $$ Alberta Math 30-1 indicator 2.3 names this combined form $y - k = f(x - h)$.阿尔伯塔 Math 30-1 指标 2.3 把此联合形式记作 $y - k = f(x - h)$。
• Why shifts behave oppositely inside.为何内加效果反向。 If $y = f(x - 3)$, then $y$ at $x = 5$ equals $f(2)$ , the new graph at $x = 5$ shows what the parent did at $x = 2$. The graph has moved right by $3$.若 $y = f(x - 3)$，则在 $x = 5$ 处 $y = f(2)$, 新图在 $x = 5$ 显示母函数在 $x = 2$ 的值。图像因此右移 $3$。

Let $a, b$ be nonzero real constants.设 $a, b$ 为非零实常数。

• Vertical ($a$): direct.竖直 ($a$)：直接。 $|a| > 1$ stretches the graph vertically (taller); $0 < |a| < 1$ compresses it vertically (shorter). The $x$-intercepts stay put.$|a| > 1$ 竖直拉长（更高）；$0 < |a| < 1$ 竖直压扁（更矮）。$x$ 轴上的交点位置不变。
• Horizontal ($b$): reciprocal.水平 ($b$)：取倒数。 $|b| > 1$ compresses the graph horizontally by factor $1/|b|$ (narrower); $0 < |b| < 1$ stretches it horizontally (wider).$|b| > 1$ 水平方向压缩（更窄），因子 $1/|b|$；$0 < |b| < 1$ 水平方向拉伸（更宽）。
• Why $b$ inside reverses intuition.为何 $b$ 在内部时与直觉相反。 $y = f(2x)$ at $x = 3$ equals $f(6)$. Inputs that used to be at $x = 6$ now happen at $x = 3$, so the graph has compressed by a factor of $1/2$.$y = f(2x)$ 在 $x = 3$ 处等于 $f(6)$。原先在 $x = 6$ 的输入现在出现在 $x = 3$，故水平压缩因子 $1/2$。
• AB Math 30-1 indicators 3.1 / 3.2AB Math 30-1 指标 3.1 / 3.2 treat $a$ and $b$ separately so students can attribute changes to one parameter at a time.把 $a$ 与 $b$ 分开处理，便于学生将变化归因于单一参数。

• $x$-axis flip.关于 $x$ 轴翻转。 $y = -f(x)$ sends each point $(x, y)$ on the parent to $(x, -y)$. Points on the $x$-axis are fixed.$y = -f(x)$ 把母函数上的 $(x, y)$ 映到 $(x, -y)$。$x$ 轴上的点保持不动。
• $y$-axis flip.关于 $y$ 轴翻转。 $y = f(-x)$ sends each point $(x, y)$ on the parent to $(-x, y)$. Points on the $y$-axis are fixed.$y = f(-x)$ 把母函数上的 $(x, y)$ 映到 $(-x, y)$。$y$ 轴上的点保持不动。
• Both at once.同时翻转。 $y = -f(-x)$ is reflection through the origin (a $180^{\circ}$ rotation). Every point $(x, y)$ goes to $(-x, -y)$.$y = -f(-x)$ 是关于原点的反射（绕原点旋转 $180^{\circ}$）。每点 $(x, y)$ 映到 $(-x, -y)$。
• Sign of $a$ and $b$ at once.$a$ 与 $b$ 的符号即反射。 In the master form $y = a f(b(x - h)) + k$, $a < 0$ adds an $x$-axis reflection and $b < 0$ adds a $y$-axis reflection.在主形式 $y = a f(b(x - h)) + k$ 中，$a < 0$ 附加 $x$ 轴反射，$b < 0$ 附加 $y$ 轴反射。
• AB Math 30-1 indicator 5.1AB Math 30-1 指标 5.1 spells out the coordinate rules: $x$-axis $(x, y) \to (x, -y)$, $y$-axis $(x, y) \to (-x, y)$, $y = x$ line $(x, y) \to (y, x)$ (this last one returns in §7).明确写出坐标规则：$x$ 轴 $(x, y) \to (x, -y)$；$y$ 轴 $(x, y) \to (-x, y)$；$y = x$ 直线 $(x, y) \to (y, x)$（最后一条 §7 再用）。

• Four roles.四个角色。 $a$: vertical stretch (and $x$-axis reflection if $a < 0$). $b$: horizontal stretch by $1/|b|$ (and $y$-axis reflection if $b < 0$). $h$: horizontal shift right by $h$. $k$: vertical shift up by $k$.$a$：竖直伸缩（$a < 0$ 时附加 $x$ 轴反射）；$b$：水平伸缩因子 $1/|b|$（$b < 0$ 时附加 $y$ 轴反射）；$h$：水平右移 $h$；$k$：竖直上移 $k$。
• Factor $b$ out first.先把 $b$ 因式提出。 Always write the inside as $b(x - h)$, not $bx - bh$. If you see $f(2x - 6)$, rewrite as $f(2(x - 3))$ so $b = 2$ and $h = 3$. Without the factoring step you will read $h = 6$ and lose the marks.内部务必写成 $b(x - h)$，而不是 $bx - bh$。若见 $f(2x - 6)$，先改写为 $f(2(x - 3))$，于是 $b = 2$、$h = 3$。不提因式会误读 $h = 6$ 并丢分。
• Order of operations.操作顺序。 Apply stretches and reflections (the $a$ and $b$ moves) before the shifts (the $h$ and $k$ moves). Coordinate-wise: $(x, y) \to \big(\tfrac{x}{b} + h, \; a y + k\big)$.先做伸缩与反射（$a, b$），后做平移（$h, k$）。坐标层面：$(x, y) \to \big(\tfrac{x}{b} + h, \; a y + k\big)$。
• AB Math 30-1 indicator 4.1AB Math 30-1 指标 4.1 writes the master form as $y - k = a f(b(x - h))$ and asks students to "sketch the graph … for given values of $a, b, h, k$" given only an unlabelled parent graph. Ontario MCR3U A1.8 is verbatim equivalent: "$y = a f(k(x - d)) + c$" (different letter names, same idea).把主形式写作 $y - k = a f(b(x - h))$，要求学生在仅给出无标注母函数图像的情况下"按给定 $a, b, h, k$ 作图"。安大略 MCR3U A1.8 形式相同（字母不同）："$y = a f(k(x - d)) + c$"。

A function $f$ is even if for every $x$ in the domain,函数 $f$ 称为偶函数，若对定义域中每个 $x$，

A function $f$ is odd if$f$ 称为奇函数，若

• Read in transformation language.用变换语言重读。 Even: $y$-axis reflection (§3) leaves the graph unchanged. Odd: composing $x$-axis and $y$-axis reflections (i.e. origin reflection) leaves the graph unchanged.偶函数：$y$ 轴反射（§3）后图像不变。奇函数：$x$ 轴反射与 $y$ 轴反射的复合（即关于原点的反射）后图像不变。
• Standard examples.标准例子。 Even: $f(x) = x^{2}$, $\cos x$, $|x|$, $x^{4}$. Odd: $f(x) = x$, $x^{3}$, $\sin x$, $\tan x$, $1/x$.偶：$f(x) = x^{2}$、$\cos x$、$|x|$、$x^{4}$。奇：$f(x) = x$、$x^{3}$、$\sin x$、$\tan x$、$1/x$。
• Neither is the default."皆非"是默认情形。 Most functions are neither even nor odd. $f(x) = x + 1$, $f(x) = e^{x}$, $f(x) = \sqrt{x}$ all fail both tests.大多数函数既非偶亦非奇。$f(x) = x + 1$、$f(x) = e^{x}$、$f(x) = \sqrt{x}$ 都不满足任何一个。
• CCSSM hooks this into transformations.CCSSM 把它挂入变换。 The closing line of HSF-BF.B.3 says "include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them" , the standard treats symmetry as a transformation property, not a separate topic.HSF-BF.B.3 末句明确："包含从图像或代数式识别奇偶函数", 该标准把对称视为变换的一种属性，而非独立主题。

• Inside-out rule.由内向外。 Apply $g$ first, then feed the output of $g$ as the input to $f$. The "$\circ$" symbol is read "composed with"; never multiply.先施加 $g$，再把 $g$ 的输出作为 $f$ 的输入。符号"$\circ$"读作"与…复合"；不可读为乘法。
• Not commutative.不交换。 In general $f \circ g \neq g \circ f$. Check on the spot with one numerical input; mismatched outputs prove the non-commutativity in one line.一般 $f \circ g \neq g \circ f$。代入一个数值即可现场验证；输出不同即一行证明不交换。
• Domain of $f \circ g$.$f \circ g$ 的定义域。 $x$ must be in $\mathrm{dom}(g)$ and $g(x)$ must be in $\mathrm{dom}(f)$. The composite often has a smaller domain than $g$ alone.$x$ 须在 $\mathrm{dom}(g)$ 内，且 $g(x)$ 须在 $\mathrm{dom}(f)$ 内。复合的定义域常常比 $g$ 单独的定义域更小。
• Why it matters downstream.为何对后续重要。 AP Calculus opens with the chain rule, which differentiates $f \circ g$. IB Math AA HL B5 builds the transformation form $y = a f(b(x - h)) + k$ as a chain of compositions with linear inner functions.AP Calculus 一开学就用链式法则（对 $f \circ g$ 求导）。IB Math AA HL B5 把变换形式 $y = a f(b(x - h)) + k$ 看作以线性内函数链式复合。
• AB Math 30-1 indicator 1.5AB Math 30-1 指标 1.5 explicitly names three numerical drills: evaluate $f(f(a))$, $f(g(a))$, $g(f(a))$. Indicator 1.6 then asks for the symbolic composite, and 1.8 reverses the process: given $h$, decompose $h$ into $f \circ g$.明确列出三种数值演练：求 $f(f(a))$、$f(g(a))$、$g(f(a))$。指标 1.6 接续要求符号复合；1.8 反向：给定 $h$，分解为 $f \circ g$。

$f^{-1}$ is the function (when it exists) satisfying$f^{-1}$ 是满足如下条件的函数（若存在）：

• One-to-one is required.必须一一对应。 $f$ has an inverse function iff each output of $f$ comes from exactly one input. Test graphically with the horizontal line test: every horizontal line hits the graph at most once.$f$ 具有反函数 当且仅当 每个输出仅对应唯一输入。图像上用水平线测试：任何水平线与图像至多交于一点。
• Graph: reflect over $y = x$.图像：关于 $y = x$ 反射。 If $(a, b)$ is on the graph of $f$, then $(b, a)$ is on the graph of $f^{-1}$. The coordinate map is $(x, y) \to (y, x)$ , the third reflection rule from §3 (AB Math 30-1 indicator 5.1).若 $(a, b)$ 在 $f$ 上，则 $(b, a)$ 在 $f^{-1}$ 上。坐标规则 $(x, y) \to (y, x)$, §3 的第三种反射（AB Math 30-1 指标 5.1）。
• Swap and solve.互换并求解。 Algebraic technique: (1) write $y = f(x)$; (2) swap $x$ and $y$; (3) solve for $y$; (4) rename $y$ as $f^{-1}(x)$. The swap step is the algebraic shadow of the graphical reflection over $y = x$.代数技巧：(1) 写 $y = f(x)$；(2) 互换 $x$ 与 $y$；(3) 解出 $y$；(4) 将 $y$ 改名为 $f^{-1}(x)$。"互换"正是图像反射 $y = x$ 的代数对应。
• Domain and range swap.定义域与值域互换。 $\mathrm{dom}(f^{-1}) = \mathrm{range}(f)$ and $\mathrm{range}(f^{-1}) = \mathrm{dom}(f)$. Reading domain off $f^{-1}$ requires reading range off $f$.$\mathrm{dom}(f^{-1}) = \mathrm{range}(f)$，$\mathrm{range}(f^{-1}) = \mathrm{dom}(f)$。读 $f^{-1}$ 的定义域即读 $f$ 的值域。
• Restrict the domain to force one-to-one.限制定义域以强制一一对应。 $f(x) = x^{2}$ fails the horizontal line test on $\mathbb{R}$. Restricting to $x \ge 0$ makes it one-to-one and gives $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$. AB Math 30-1 indicator 6.5 names this technique explicitly; CCSSM HSF-BF.B.4.d too.$f(x) = x^{2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上不满足水平线测试。限制 $x \ge 0$ 使其一一对应，得 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$。AB Math 30-1 指标 6.5 明确点名此法；CCSSM HSF-BF.B.4.d 亦同。
• Notation warning.记号警示。 $f^{-1}(x)$ is the inverse function; it does not mean $1/f(x)$. The exponent-style notation is conventional, not literal.$f^{-1}(x)$ 是反函数；不等于 $1/f(x)$。指数式写法是约定，不是字面意义。